¿Qué es una ecuación cuadrática?

¿Alguna vez te has encontrado con un problema matemático que involucra una ecuación con una incógnita elevada al cuadrado? Estas ecuaciones, conocidas como ecuaciones cuadráticas, pueden parecer complicadas de resolver al principio, pero con los conocimientos adecuados y un poco de práctica, puedes dominar su resolución. En este artículo, te guiaré a través de todo lo que necesitas saber sobre las ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas.

Qué es una ecuación cuadrática

Antes de pasar a la resolución de las ecuaciones cuadráticas, es importante entender qué son. Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado, es decir, tiene una incógnita elevada al cuadrado.

Por ejemplo, la ecuación cuadrática más básica sería x² = 4. En esta ecuación, la incógnita x está elevada al cuadrado y el objetivo es encontrar el valor de x que satisface la ecuación.

Cómo resolver una ecuación cuadrática

Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, pero los dos más comunes son la factorización y el uso de la fórmula general.

Método de factorización

El primer método que veremos es la factorización. Este método implica descomponer la ecuación en dos factores y luego igualarlos a cero.

Paso a paso, la resolución de una ecuación cuadrática mediante factorización se divide en los siguientes pasos:

1. Expresar la ecuación en la forma estándar: ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación.
2. Factorizar la expresión cuadrada, es decir, encontrar dos números cuya suma es igual a b y cuyo producto es igual a ac.
3. Escribir la ecuación en forma de dos factores equivalentes:

Por ejemplo, vamos a resolver la ecuación cuadrática x² + 5x + 6 = 0 utilizando el método de factorización.

1. La ecuación ya se encuentra en la forma estándar.
2. Buscamos dos números cuya suma sea igual a 5 (coeficiente de x) y cuyo producto sea igual a 6 (coeficiente independiente): 2 y 3.
3. Escribimos la ecuación en forma de factores: (x + 2)(x + 3) = 0

Ahora, igualamos cada factor a cero y encontramos los valores de x:

• x + 2 = 0 → x = -2
• x + 3 = 0 → x = -3

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática x² + 5x + 6 = 0 son x = -2 y x = -3.

La fórmula general

El segundo método para resolver ecuaciones cuadráticas es la fórmula general. Esta fórmula nos permite encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática sin necesidad de factorizarla.

La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 es:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Donde el signo ± indica que se deben considerar las dos posibilidades de suma y resta. Si la expresión dentro de la raíz cuadrada es negativa, entonces la ecuación no tiene soluciones reales.

Por ejemplo, vamos a resolver la ecuación cuadrática 2x² - 5x + 2 = 0 utilizando la fórmula general.

En este caso, a = 2, b = -5 y c = 2. Sustituimos estos valores en la fórmula general:

x = (-(-5) ± √((-5)² - 4(2)(2))) / (2(2))

Simplificando la expresión, tenemos:

x = (5 ± √(25 - 16)) / 4

x = (5 ± √9) / 4

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática 2x² - 5x + 2 = 0 son x = 1/2 y x = 2.

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas tienen numerosas aplicaciones en diferentes campos, como la física, la economía y la biología.

En la física

En la física, las ecuaciones cuadráticas se utilizan para modelar fenómenos que tienen relación con el movimiento y la fuerza. Un ejemplo de una ecuación cuadrática aplicada a la física es la ecuación del movimiento libre bajo la gravedad.

Esta ecuación se expresa como y = -1/2gt² + v₀t + h₀, donde y representa la posición vertical, g es la aceleración debido a la gravedad, t es el tiempo, v₀ es la velocidad inicial y h₀ es la posición inicial.

En la economía

En la economía, las ecuaciones cuadráticas se utilizan para modelar situac